Análisis Numérico

Problema 1: Regresión

Equilibrio Líquido-Vapor usando la ecuación de Margules

La ley de Raoult establece que la relación entre la presión de vapor de cada componente en una solución ideal es dependiente de la presión de vapor de cada componente individual y de la fracción molar de cada componente en la solución. Esta ley sólo aplica para soluciones ideales.

Dos modelos termodinámicos sencillos son los propuestos por Margules y por Van Laar para ajustar datos experimentales de Equilibrio Líquido-Vapor de Mezclas Binarias.

Los modelos son los siguientes:

Margules

 

Van Laar

Para el sistema Tetracloruro de Carbono-Benceno se obtuvieron los siguientes datos de equilibrio:

Punto	x1	γ1	γ2
1	0.0464	1.090	1.000
2	0.0861	1.082	1.001
3	0.2004	1.062	1.004
4	0.2792	1.050	1.007
5	0.3842	1.036	1.014
6	0.4857	1.025	1.022
7	0.5824	1.016	1.032
8	0.6904	1.009	1.045
9	0.7842	1.004	1.059
10	0.8972	1.001	1.079

a)      Estime mediante el comando cftool de Matlab los parámetros A12 y A21 para el modelo de Margules y para el modelo de Van Laar. Presente en una tabla los resultados y compárelos.

b)      Grafique los ajustes y los datos reales para cada modelo y presente las gráficas.

Problema 2: Diferenciación Numérica

Transferencia de Calor en Estado Estacionario con Generación de Calor

La ecuación de Poisson define la transferencia de calor en estado estacionario en los que existe generación de calor. Para una esfera (coordenadas esféricas) el balance de calor queda así:

 

Donde k es la conductividad térmica [W/cm*K]

            r es el radio [cm]

            T la temperatura [K]

            Q_G el calor generado [W/cmˆ3]

En un reactor catalítico de lecho empacado, se tiene un catalizador que consiste de partículas esféricas de 2.5 cm de radio, hechas de un catalizador de hierro con k = 0.021 W/cm×K. Los siguientes datos se obtuvieron experimentalmente con bastante precisión y representan el perfil de Temperatura en el catalizador en dependencia del radio:

r	T(r )
0.00	352.37
0.25	352.15
0.50	351.48
0.75	350.36
1.00	348.79
1.25	346.78
1.50	344.32
1.75	341.41
2.00	338.05
2.25	334.25
2.50	330.00

a)      Calcule mediante el uso de técnicas de diferenciación numérica con la ecuación presentada anteriormente en una tabla en Excel, el valor del calor generado (Q_G) para esta reacción química (el cual es constante).

b)      Estime el calor total generado en kilowatts en el reactor Q = Q_G*V si se usan 1.6 toneladas de catalizador el cual tiene una densidad aparente de 720 kg/mˆ3 (r = m/V).

Sugerencia para a): promedie el valor de Q en todos los valores encontrados con fórmulas de diferencias centradas de alta precisión, elimine uno o dos valores que al inicio resulten muy diferentes, Q debería de ser aproximadamente constante en todo el perfil de radios.

Las condiciones límites si le interesa encontrar la solución analítica son:

En r = 0, dT/dr = 0

En r = R, T = Ts (Temperatura superficial)

Problema 3: Integración Numérica

Reactor Biológico Batch para producir penicilina

El tiempo necesario para llevar a cabo una reacción en un reactor de tipo batch puede calcularse mediante la ecuación:

Donde V es el volumen del reactor

            N_A0 son los moles iniciales de reactivo A que se alimentan al reactor

            X es la conversión de la reacción (va de 0 a un máximo de 1)

            r_A es la ley de velocidad de la reacción dada.

Se va a llevar a cabo una reacción enzimática en un biorreactor batch donde se desea producir penicilina del hongo Penicillum chrysogenum mediante una reacción enzimática. La cinética de la reacción está explicada mediante la ecuación de Michaelis-Menten:

Donde k₂ es una constante de velocidad

            K_M es la constante de Micahelis-Menten para la reacción

            E₀ es la concentración inicial de enzima

Los siguientes datos fueron obtenidos para esta reacción:

X	0.00	0.20	0.40	0.60	0.70	0.80	0.90	0.95
-rA	0.1822	0.1799	0.1761	0.1692	0.1627	0.1512	0.1247	0.0923

a)      Encuentre mediante integración numérica de la forma más exacta posible el tiempo necesario en horas para llevar a cabo la reacción a un 95% de conversión si el volumen del reactor es de 100 litros, N_A0 = 450 moles, E₀ = 1.2 mol/L y r_A está dado en mol/h*L (15%).

b)      Determine mediante regresión los parámetros K_M y k₂ para esta reacción. (5%)

Sugerencias: no necesitará convertir unidades en este problema. Las unidades de K_M serán Molaridad y las de k₂: h^-1.

Problema 4: Ecuaciones Diferenciales

Cinética de reacciones en serie en un reactor de Flujo Pistón (PFR)

La cinética de reacción en serie en un reactor PFR donde ocurre la reacción:

Está dada mediante las ecuaciones diferenciales siguientes:

En el reactor se introducen 12 moles/litro de C_A inicialmente y no hay nada de B ni de C al inicio de la reacción.

a)      Determine la solución numérica del sistema mediante Runge-Kutta de 4to orden, es decir, los perfiles de C_A, C_B y C_C para un tiempo de 0 a 10 minutos. Tome un h de 0.1 min. Grafique los resultados en Excel. (15%)

b)      Encuentre la solución analítica del sistema con ayuda de wolframalpha.com y determine el error en Excel de la solución numérica. (Sugerencia: use x, y, z en lugar de C_A, C_B y C_C respectivamente) (2%)

c)      Grafique en Matlab la solución para t = 0 a 10 min con intervalos de 0.25 minutos (con ayuda de las soluciones analíticas). Agregue las respectivas etiquetas a los ejes, título y leyenda del gráfico. ¿Considera práctico o necesario continuar la reacción por más de 10 minutos en el reactor? (3%)

Problema 5: Optimización

Optimización Multidimensional

Un estudio de vida útil para un producto alimenticio (conservas enlatadas) se realizó para estimar la relación de dos parámetros fundamentales:

x (tiempo en horas de tratamiento térmico)

y (pH)

Ambos parámetros afectan de manera compleja al producto puesto que poco tiempo de tratamiento a una determinada temperatura puede ser ineficiente para neutralizar a los microorganismos y mucho tiempo daña los nutrientes y modifica las características sensoriales. Asimismo, un pH muy bajo afecta la calidad y uno muy alto puede permitir el crecimiento de bacterias.

La siguiente función estima el tiempo de vida útil para las conservas enlatadas a partir del tiempo de tratamiento (x) y el pH (y)

*Resuelva este problema en Excel y Matlab

a)      Encuentre los valores de x,y que den el máximo tiempo de vida útil para las conservas en días e indique cuál es este valor, utilice un valor inicial de (5,5).

b)      Encuentre los valores de x,y que den el mínimo tiempo de vida útil para las conservas en días e indique cuál es este valor, utilice un valor inicial de (10,10).

c)      Trate de encontrar un punto de silla. Pruebe como valor inicial el punto (6,9) e indique si converge a un valor y si se trata de un máximo, mínimo o punto de silla. Explique que significaría encontrar un punto de silla.

d)      Grafique la función en Matlab, donde se observen los puntos óptimos.

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teorema analisis numerica computacional

Teorema 1.1 (Teorema del valor intermedio) Si f C∈ [ , a b  ] y K es un número cualquiera entre f a( ) y f b( ), entonces existe c a ∈[ ] , b tal que f c( ) = K.

Este teorema afirma que si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo debe tener un cero en el intervalo. Otro resultado acerca de funciones continuas definidas sobre intervalos cerrados es el siguiente teorema.

Teorema 1.2 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , entonces existen x x 1 2 ,   ∈[ ] a b, tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b .

Los siguientes teoremas están relacionados con la derivabilidad de las funciones. La importancia radica en su empleo para determinar los errores en los diferentes métodos numéricos que se desarrollen en esta obra. Se inicia con:

Teorema 1.3 (Teorema de Rolle) Sea f C∈ [ ] a b, , y derivable en (a b, ). Si f a( ) = f b( ) entonces existe al menos un número c a ∈( , b) tal que f c ′( ) = 0.

Este teorema se puede generalizar como

 Teorema 1.4 (Teorema de Rolle generalizado) Si f C a b n ∈ [ ] , y existen n +1 puntos distintos x x 0 1 , ,, , x a n ∈[ ] b tal que fx fx fx 0 1 n ( ) = ( ) = =  ( ) entonces existe c a ∈( , b) tal que f c ( ) n ( ) = 0

Como corolario al Teorema de Rolle se tiene el siguiente teorema:

 Teorema 1.5 (Teorema del valor medio) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), existe un número c a ∈( , b) tal que f b( ) − f a( ) = f c ′( )(b a − ).

También se puede establecer el teorema de valores extremos para funciones derivables como:

Teorema 1.6 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), entonces existen x x 1 2 , , ∈[ ] a b tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b . Si además se tie ne que f x ′( 1 ) = 0, f x ′( 2 ) = 0, a f x( )1 y f x( ) 2 se les llama valores extremos de f en [ ] a b, .

En la siguiente definición se extiende el concepto de continuidad de una función como:

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Definición 1.1 (Condición de Lipschitz) Se dice que f a : , [ ] b → ℜ satisface una condi ción de Lipschitz con constante de Lipschitz L en [ ] a b, si, para cada x y, , ∈[ ] a b se tiene que f y( ) − f x( ) ≤ − L y x .

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