teorema analisis numerica computacional

Teorema 1.1 (Teorema del valor intermedio) Si f C∈ [ , a b  ] y K es un número cualquiera entre f a( ) y f b( ), entonces existe c a ∈[ ] , b tal que f c( ) = K.

Este teorema afirma que si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo debe tener un cero en el intervalo. Otro resultado acerca de funciones continuas definidas sobre intervalos cerrados es el siguiente teorema.

Teorema 1.2 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , entonces existen x x 1 2 ,   ∈[ ] a b, tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b .

Los siguientes teoremas están relacionados con la derivabilidad de las funciones. La importancia radica en su empleo para determinar los errores en los diferentes métodos numéricos que se desarrollen en esta obra. Se inicia con:

Teorema 1.3 (Teorema de Rolle) Sea f C∈ [ ] a b, , y derivable en (a b, ). Si f a( ) = f b( ) entonces existe al menos un número c a ∈( , b) tal que f c ′( ) = 0.

Este teorema se puede generalizar como

 Teorema 1.4 (Teorema de Rolle generalizado) Si f C a b n ∈ [ ] , y existen n +1 puntos distintos x x 0 1 , ,, , x a n ∈[ ] b tal que fx fx fx 0 1 n ( ) = ( ) = =  ( ) entonces existe c a ∈( , b) tal que f c ( ) n ( ) = 0

Como corolario al Teorema de Rolle se tiene el siguiente teorema:

 Teorema 1.5 (Teorema del valor medio) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), existe un número c a ∈( , b) tal que f b( ) − f a( ) = f c ′( )(b a − ).

También se puede establecer el teorema de valores extremos para funciones derivables como:

Teorema 1.6 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), entonces existen x x 1 2 , , ∈[ ] a b tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b . Si además se tie ne que f x ′( 1 ) = 0, f x ′( 2 ) = 0, a f x( )1 y f x( ) 2 se les llama valores extremos de f en [ ] a b, .

En la siguiente definición se extiende el concepto de continuidad de una función como:

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Definición 1.1 (Condición de Lipschitz) Se dice que f a : , [ ] b → ℜ satisface una condi ción de Lipschitz con constante de Lipschitz L en [ ] a b, si, para cada x y, , ∈[ ] a b se tiene que f y( ) − f x( ) ≤ − L y x .