jueves, 4 de febrero de 2021
Precisión y exactitud
La exactitud indica los resultados de la proximidad de la medición con respecto al valor verdadero, mientras
que la precisión con respecto a la repetibilidad o reproductibilidad de la medida.
En ingeniería, ciencia, industria y estadística, exactitud y precisión no son equivalentes.
Una medida común de la
variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se
puede
estimar como una función de ella.
estimar como una función de ella.
Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos
de mediciones repetidas de una
magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión.
magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión.
Exactitud
se
refiere a que tan cerca del valor real se encuentra el valor medido. En
términos estadísticos,
la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacta es
una estimación.
la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacta es
una estimación.
Cuando
expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto
que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero
domingo, 4 de febrero de 2018
Problema 1: Regresión
Equilibrio
Líquido-Vapor usando la ecuación de Margules
La ley de Raoult establece que la
relación entre la presión de vapor de cada componente en una solución ideal es
dependiente de la presión de vapor de cada componente individual y de la
fracción molar de cada componente en la solución. Esta ley sólo aplica para
soluciones ideales.
Dos modelos termodinámicos
sencillos son los propuestos por Margules y por Van Laar para ajustar datos
experimentales de Equilibrio Líquido-Vapor de Mezclas Binarias.
Los modelos son los siguientes:
Margules
Van Laar
Para el sistema Tetracloruro
de Carbono-Benceno se obtuvieron los siguientes datos de equilibrio:
Punto
|
x1
|
γ1
|
γ2
|
1
|
0.0464
|
1.090
|
1.000
|
2
|
0.0861
|
1.082
|
1.001
|
3
|
0.2004
|
1.062
|
1.004
|
4
|
0.2792
|
1.050
|
1.007
|
5
|
0.3842
|
1.036
|
1.014
|
6
|
0.4857
|
1.025
|
1.022
|
7
|
0.5824
|
1.016
|
1.032
|
8
|
0.6904
|
1.009
|
1.045
|
9
|
0.7842
|
1.004
|
1.059
|
10
|
0.8972
|
1.001
|
1.079
|
a)
Estime mediante el comando cftool de Matlab los parámetros A12 y A21 para el modelo de
Margules y para el modelo de Van Laar. Presente en una tabla los resultados y
compárelos.
b)
Grafique los ajustes y los datos reales para
cada modelo y presente las gráficas.
Problema 2: Diferenciación Numérica
Transferencia de
Calor en Estado Estacionario con Generación de Calor
La ecuación de Poisson define la
transferencia de calor en estado estacionario en los que existe generación de
calor. Para una esfera (coordenadas esféricas) el balance de calor queda así:
Donde k es la conductividad térmica [W/cm*K]
r es el
radio [cm]
T la
temperatura [K]
QG
el calor generado [W/cmˆ3]
En un reactor
catalítico de lecho empacado, se tiene un catalizador que consiste de
partículas esféricas de 2.5 cm de radio, hechas de un catalizador de hierro con k = 0.021 W/cm×K. Los siguientes datos se obtuvieron
experimentalmente con bastante precisión y representan el perfil de Temperatura
en el catalizador en dependencia del radio:
r
|
T(r )
|
0.00
|
352.37
|
0.25
|
352.15
|
0.50
|
351.48
|
0.75
|
350.36
|
1.00
|
348.79
|
1.25
|
346.78
|
1.50
|
344.32
|
1.75
|
341.41
|
2.00
|
338.05
|
2.25
|
334.25
|
2.50
|
330.00
|
a) Calcule
mediante el uso de técnicas de diferenciación numérica con la ecuación
presentada anteriormente en una tabla en Excel, el valor del calor generado (QG) para esta reacción
química (el cual es constante).
b) Estime
el calor total generado en kilowatts en el reactor Q = QG*V si se usan 1.6
toneladas de catalizador el cual tiene una densidad aparente de 720 kg/mˆ3 (r = m/V).
Sugerencia para a): promedie el
valor de Q en todos los valores encontrados con fórmulas de diferencias
centradas de alta precisión, elimine uno o dos valores que al inicio resulten
muy diferentes, Q debería de ser aproximadamente constante en todo el perfil de
radios.
Las condiciones límites si le
interesa encontrar la solución analítica son:
En r = 0, dT/dr = 0
En r = R, T = Ts (Temperatura superficial)
Problema 3: Integración Numérica
Reactor Biológico
Batch para producir penicilina
El tiempo necesario para llevar a
cabo una reacción en un reactor de tipo batch puede calcularse mediante la
ecuación:
Donde
V es el volumen del reactor
NA0 son los moles
iniciales de reactivo A que se alimentan al reactor
X es la conversión de la reacción
(va de 0 a un máximo de 1)
rA es la ley de velocidad
de la reacción dada.
Se va a llevar a cabo una
reacción enzimática en un biorreactor batch donde se desea producir penicilina
del hongo Penicillum chrysogenum
mediante una reacción enzimática. La cinética de la reacción está explicada
mediante la ecuación de Michaelis-Menten:
Donde k2 es una constante de velocidad
KM
es la constante de Micahelis-Menten para la reacción
E0
es la concentración inicial de enzima
Los siguientes datos fueron obtenidos para esta reacción:
X
|
0.00
|
0.20
|
0.40
|
0.60
|
0.70
|
0.80
|
0.90
|
0.95
|
-rA
|
0.1822
|
0.1799
|
0.1761
|
0.1692
|
0.1627
|
0.1512
|
0.1247
|
0.0923
|
a)
Encuentre mediante integración numérica de la
forma más exacta posible el tiempo necesario en horas para llevar a cabo la
reacción a un 95% de conversión si el volumen del reactor es de 100 litros, NA0
= 450 moles, E0 = 1.2 mol/L y rA está dado en mol/h*L
(15%).
b)
Determine mediante regresión los parámetros KM
y k2 para esta reacción. (5%)
Sugerencias: no necesitará
convertir unidades en este problema. Las unidades de KM serán
Molaridad y las de k2: h-1.
Problema 4: Ecuaciones Diferenciales
Cinética de reacciones en serie en un reactor de Flujo Pistón (PFR)
La cinética de reacción en serie en un reactor PFR donde
ocurre la reacción:
Está dada mediante las ecuaciones diferenciales siguientes:
En el reactor se introducen 12 moles/litro de CA
inicialmente y no hay nada de B ni de C al inicio de la reacción.
a)
Determine la solución numérica del sistema
mediante Runge-Kutta de 4to orden, es decir, los perfiles de CA, CB
y CC para un tiempo de 0 a 10 minutos. Tome un h de 0.1 min.
Grafique los resultados en Excel. (15%)
b)
Encuentre la solución analítica del sistema con
ayuda de wolframalpha.com y determine el error en Excel de la solución
numérica. (Sugerencia: use x, y, z en lugar de CA, CB y CC
respectivamente) (2%)
c)
Grafique en Matlab la solución para t = 0 a 10
min con intervalos de 0.25 minutos (con ayuda de las soluciones analíticas).
Agregue las respectivas etiquetas a los ejes, título y leyenda del gráfico.
¿Considera práctico o necesario continuar la reacción por más de 10 minutos en
el reactor? (3%)
Problema 5: Optimización
Optimización Multidimensional
Un estudio de vida útil para un producto alimenticio
(conservas enlatadas) se realizó para estimar la relación de dos parámetros
fundamentales:
x (tiempo en horas de tratamiento térmico)
y
(pH)
Ambos parámetros afectan de
manera compleja al producto puesto que poco tiempo de tratamiento a una
determinada temperatura puede ser ineficiente para neutralizar a los
microorganismos y mucho tiempo daña los nutrientes y modifica las
características sensoriales. Asimismo, un pH muy bajo afecta la calidad y uno
muy alto puede permitir el crecimiento de bacterias.
La siguiente función estima el tiempo de vida útil para las
conservas enlatadas a partir del tiempo de tratamiento (x) y el pH (y)
*Resuelva este problema en Excel y Matlab
a)
Encuentre los valores de x,y que den el máximo
tiempo de vida útil para las conservas en días e indique cuál es este valor,
utilice un valor inicial de (5,5).
b)
Encuentre los valores de x,y que den el mínimo
tiempo de vida útil para las conservas en días e indique cuál es este valor,
utilice un valor inicial de (10,10).
c)
Trate de encontrar un punto de silla. Pruebe
como valor inicial el punto (6,9) e indique si converge a un valor y si se
trata de un máximo, mínimo o punto de silla. Explique que significaría
encontrar un punto de silla.
d) Grafique
la función en Matlab, donde se observen los puntos óptimos.
Teorema 1.1 (Teorema del valor intermedio) Si f C∈ [ , a b ] y K es un número cualquiera
entre f a( ) y f b( ), entonces existe c a ∈[ ] , b tal que f c( ) = K.
Este teorema afirma que si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo debe tener un cero en el intervalo. Otro resultado acerca de funciones continuas definidas sobre intervalos cerrados es el siguiente teorema.
Teorema 1.2 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , entonces existen x x 1 2 , ∈[ ] a b, tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b .
Los siguientes teoremas están relacionados con la derivabilidad de las funciones. La importancia radica en su empleo para determinar los errores en los diferentes métodos numéricos que se desarrollen en esta obra. Se inicia con:
Teorema 1.3 (Teorema de Rolle) Sea f C∈ [ ] a b, , y derivable en (a b, ). Si f a( ) = f b( ) entonces existe al menos un número c a ∈( , b) tal que f c ′( ) = 0.
Este teorema se puede generalizar como
Teorema 1.4 (Teorema de Rolle generalizado) Si f C a b n ∈ [ ] , y existen n +1 puntos distintos x x 0 1 , ,, , x a n ∈[ ] b tal que fx fx fx 0 1 n ( ) = ( ) = = ( ) entonces existe c a ∈( , b) tal que f c ( ) n ( ) = 0
Como corolario al Teorema de Rolle se tiene el siguiente teorema:
Teorema 1.5 (Teorema del valor medio) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), existe un número c a ∈( , b) tal que f b( ) − f a( ) = f c ′( )(b a − ).
También se puede establecer el teorema de valores extremos para funciones derivables como:
Teorema 1.6 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), entonces existen x x 1 2 , , ∈[ ] a b tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b . Si además se tie ne que f x ′( 1 ) = 0, f x ′( 2 ) = 0, a f x( )1 y f x( ) 2 se les llama valores extremos de f en [ ] a b, .
En la siguiente definición se extiende el concepto de continuidad de una función como:
Definición 1.1 (Condición de Lipschitz) Se dice que f a : , [ ] b → ℜ satisface una condi ción de Lipschitz con constante de Lipschitz L en [ ] a b, si, para cada x y, , ∈[ ] a b se tiene que f y( ) − f x( ) ≤ − L y x .
Este teorema afirma que si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo debe tener un cero en el intervalo. Otro resultado acerca de funciones continuas definidas sobre intervalos cerrados es el siguiente teorema.
Teorema 1.2 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , entonces existen x x 1 2 , ∈[ ] a b, tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b .
Los siguientes teoremas están relacionados con la derivabilidad de las funciones. La importancia radica en su empleo para determinar los errores en los diferentes métodos numéricos que se desarrollen en esta obra. Se inicia con:
Teorema 1.3 (Teorema de Rolle) Sea f C∈ [ ] a b, , y derivable en (a b, ). Si f a( ) = f b( ) entonces existe al menos un número c a ∈( , b) tal que f c ′( ) = 0.
Este teorema se puede generalizar como
Teorema 1.4 (Teorema de Rolle generalizado) Si f C a b n ∈ [ ] , y existen n +1 puntos distintos x x 0 1 , ,, , x a n ∈[ ] b tal que fx fx fx 0 1 n ( ) = ( ) = = ( ) entonces existe c a ∈( , b) tal que f c ( ) n ( ) = 0
Como corolario al Teorema de Rolle se tiene el siguiente teorema:
Teorema 1.5 (Teorema del valor medio) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), existe un número c a ∈( , b) tal que f b( ) − f a( ) = f c ′( )(b a − ).
También se puede establecer el teorema de valores extremos para funciones derivables como:
Teorema 1.6 (Teorema de los valores extremos) Si f C∈ [ ] a b, , y f es derivable en (a b, ), entonces existen x x 1 2 , , ∈[ ] a b tales que fx fx fx 1 2 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para toda x a ∈[ ] , b . Si además se tie ne que f x ′( 1 ) = 0, f x ′( 2 ) = 0, a f x( )1 y f x( ) 2 se les llama valores extremos de f en [ ] a b, .
En la siguiente definición se extiende el concepto de continuidad de una función como:
Definición 1.1 (Condición de Lipschitz) Se dice que f a : , [ ] b → ℜ satisface una condi ción de Lipschitz con constante de Lipschitz L en [ ] a b, si, para cada x y, , ∈[ ] a b se tiene que f y( ) − f x( ) ≤ − L y x .
miércoles, 22 de noviembre de 2017
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